2594 Lynn Ogden Lane

Blog Details

Home   /   Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Sebuah penyelesaian persamaan linear a1x1 + ax2 + … + anxn = adalah sebuah urutan dari bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.

Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel terurut bilangan-bilangan x1, x2, …, xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL.

Contoh :

Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem

          x1 + 22 = 5

2x1 + 32 = 8

karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.

Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) ≠ 8.

Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL

x1 – x2 + x3 = 2

2x1 – x2 – x3 = 4

karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2

2(2) + 1(0) – 1(0) = 4

Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), …. juga merupakan penyelesaian SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika α adalah sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2, α,α) adalah penyelesaian SPL tersebut. Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat ditunjukkan pada sistem

x1 + x2 = 2

x1 – x2 = 1

x1 = 4

Pada persamaan ketiga x1= 4, sehingga jika disubstitusikan ke persamaan pertama

dan kedua, maka x2 harus memenuhi :

4 + x2 = 2

4 – x2 = 1

Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak mempunyai penyelesaian. Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten (inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut konsisten (consistent).

Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu :

  1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)
  2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)
  3. SPL tidak mempunyai penyelesaian

SPL homogen AX = 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu = 0, yang dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain, (yang tidak nol) maka penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.

Contoh :

2x1 + 2 – 3 3 = 0

1 + 2 2 = 0

2 + 3 = 0

SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :

1 = 2 3

2 = – 3

Jika x3=t, dengan bilangan real, maka x1 = 2tx2 = –sehingga himpunan penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t.

sumer :

https://apkmod.co.id/jasa-penulis-artikel/